ALES Temel Kavramlar: Basamak Analizi, Asal ve Ardışık Sayılar, Çözümlü Örnekler

ALES'te temel kavramlar nedir, neden önce çalışılır?

Temel kavramlar, sayısal testteki bütün işlemlerin dayandığı tanım ve kurallardır: bir sayının rakam mı, tam sayı mı, pozitif mi, asal mı olduğu; tek ve çift sayıların işlemlerde nasıl davrandığı; bir sayının basamaklarına nasıl ayrıldığı. Bu tanımlardan birini yanlış bilen aday, işlemi doğru yapsa bile yanlış seçeneğe ulaşır.

Bu madde, ALES matematik konularının genel özetinden farklı olarak yalnız sayı kavramlarına ait soru tiplerini ayrıntılı işler. Sözel ifadeyi denkleme çevirdiğiniz ardışık sayı ve rakam problemleri için ALES sayı problemleri, asal çarpanlara ayırma ve bölen sayısı için bölünebilme, EBOB ve EKOK maddelerine bakın. Burada amaç, o konulara geçmeden önce sağlam bir kavram zemini kurmaktır.

Matematiğe sıfırdan başlıyorsanız bu konu grubunu ilk haftaya koymanız mantıklıdır; çünkü bölünebilme, üslü sayılar, problemler ve olasılık soruları bu tanımlar bilindiği varsayılarak sorulur. Bütün örnekler bu madde için yazılmıştır, ÖSYM sorusu değildir.

Rakam, sayı ve sayı kümeleri nelerdir?

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan 10 semboldür: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sayı ise bu rakamlarla yazılan çokluk ifadesidir. 47 bir sayıdır; 4 ve 7 onun rakamlarıdır. Sorularda "a bir rakamdır" deniyorsa a yalnız 0 ile 9 arasındaki tam sayılardan biri olabilir.

Soru kökündeki küme sözcüğü cevabı doğrudan değiştirir. "x bir tam sayı ve x² < 10" ise x; −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 olmak üzere 7 değer alır. Aynı koşul "x bir pozitif tam sayı" diye verilseydi yalnız 1, 2, 3 kalırdı.

Tek ve çift sayılar: işlem kuralları nelerdir?

2'ye tam bölünen tam sayılar çift, bölünmeyenler tektir. 0 çift sayıdır; negatif sayılar da tek ya da çift olabilir (−4 çift, −7 tek). Tek-çift sorularında sayıları tek tek denemek yerine aşağıdaki tabloyu kullanmak işi hızlandırır.

Kısa yol: çarpımda tek bir çift çarpan bile sonucu çift yapar; toplamda ise sonucu tek sayıların adedi belirler. Tek sayıda tek terim varsa toplam tek, çift sayıda tek terim varsa toplam çifttir. Çıkarma, toplama ile aynı sonucu verir.

Örnek 1: a ve b tam sayılardır. a · b + a tek sayı olduğuna göre a ve b'nin tek-çift durumu nedir?

Çözüm: a · b + a = a(b + 1). Çarpım tek olduğuna göre iki çarpan da tek olmalıdır. a tektir; b + 1 tek olduğundan b çifttir.

Pozitif ve negatif sayılarda işaret kuralları

Aynı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü pozitif, ters işaretli iki sayınınki negatiftir. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8. Buna karşılık −2⁴ = −16'dır; çünkü üs yalnız 2'ye uygulanır, parantez bu farkı yaratır.

Örnek 2: a · b < 0 ve b · c > 0 ise a · c'nin işareti nedir?

Çözüm: a ile b ters işaretli, b ile c aynı işaretlidir. Öyleyse a ile c ters işaretlidir ve a · c < 0 olur. Sayı vermeden, yalnız işaret ilişkisiyle çözülür.

Asal sayı nedir? Kurallar ve örnekler

Asal sayı, 1'den büyük olan ve yalnız 1'e ve kendisine bölünen doğal sayıdır. Bu tanımdan üç kural çıkar: 1 asal değildir, 2 tek çift asal sayıdır, 2 dışındaki bütün asal sayılar tektir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayı denir.

100'den küçük 25 asal sayı vardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. İlk on beşini ezbere bilmek, işlem sırasında zaman kazandırır.

Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?

1. Sayının karekökünü yaklaşık olarak bulun.
2. Karekökten küçük ya da ona eşit asal sayıları sırayla deneyin.
3. Hiçbiri sayıyı tam bölmüyorsa sayı asaldır; biri bölüyorsa bileşiktir.

Örnek 3: 221 asal mıdır? √221 yaklaşık 14,9'dur; 2, 3, 5, 7, 11 ve 13 denenir. 221 = 13 · 17 olduğundan asal değildir. 97 için ise √97 yaklaşık 9,8'dir; 2, 3, 5 ve 7 bölmediği için 97 asaldır.

Aralarında asal sayılar

Ortak böleni yalnız 1 olan sayılara aralarında asal denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 8 ve 15 aralarında asaldır. Ardışık iki tam sayı ve iki farklı asal sayı her zaman aralarında asaldır. Kesir sorularında "a/b sadeleşmeyen bir kesirdir" ifadesi, a ile b'nin aralarında asal olduğu anlamına gelir.

Örnek 4: a ve b asal sayılar olmak üzere a + b = 15 ise a · b kaçtır?

Çözüm: Toplam tek olduğuna göre sayılardan biri çift, öbürü tek olmalıdır. Tek çift asal 2'dir; öbür sayı 13 olur ve asaldır. a · b = 26.

Örnek 5: a ve b asal sayılar ve a² − b² = 21 ise a + b kaçtır?

Çözüm: (a − b)(a + b) = 21. Pozitif çarpan çiftleri 1 · 21 ve 3 · 7'dir. a − b = 1, a + b = 21 seçilirse a = 11, b = 10 olur; 10 asal değildir. a − b = 3, a + b = 7 seçilirse a = 5, b = 2 bulunur; ikisi de asaldır. Cevap 7'dir.

Ardışık sayılar: terim sayısı ve toplam formülleri

Ardışık sayılar, belirli bir kurala göre eşit artışla sıralanan sayılardır. n bir tam sayı olmak üzere temel gösterimler şöyledir:

• Ardışık tam sayılar: n, n + 1, n + 2, … (artış 1)
• Ardışık çift sayılar: 2n, 2n + 2, 2n + 4, … (artış 2)
• Ardışık tek sayılar: 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, … (artış 2)
• k'nin ardışık katları: kn, kn + k, kn + 2k, … (artış k)

Örnek 6: 15'ten 87'ye kadar olan tek sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm: Terim sayısı (87 − 15) / 2 + 1 = 37'dir. Toplam (15 + 87) · 37 / 2 = 51 · 37 = 1.887 olur.

Örnek 7: 3'e tam bölünen kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

Çözüm: 3'ün katı olan en küçük iki basamaklı sayı 12, en büyüğü 99'dur. (99 − 12) / 3 + 1 = 30.

Ardışık sayıların iki kullanışlı özelliği daha vardır: ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift olduğu için çarpımları çifttir; ardışık üç tam sayının çarpımı her zaman 6'ya bölünür. Ardışık terimlerin ortancası ve ortalamasıyla ilgili kısa yollar ALES ortalama problemleri maddesinde anlatılıyor.

Basamak analizi nasıl yapılır?

Basamak analizi (çözümleme), bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmaktır. 4.725 sayısında 7 rakamının sayı değeri 7, basamak değeri 700'dür. Harflerle verilen sayılarda her harf bir rakamı gösterir ve sayı şöyle açılır:

• ab = 10a + b
• abc = 100a + 10b + c
• abcd = 1000a + 100b + 10c + d

En soldaki rakam (a) 0 olamaz; öteki harfler 0 ile 9 arasında herhangi bir değer alabilir. Soruda "farklı rakamlar" denmedikçe harflerin aynı değeri alması da serbesttir. Bu iki kısıt, "kaç farklı sayı yazılabilir?" sorularının cevabını belirler.

Örnek 8: ab iki basamaklı bir sayıdır ve ab = 4(a + b) eşitliğini sağlar. Bu koşula uyan kaç sayı vardır?

Çözüm: 10a + b = 4a + 4b, buradan 6a = 3b ve b = 2a bulunur. b bir rakam olduğu için a en çok 4 olabilir: 12, 24, 36, 48. Dört sayı vardır.

Örnek 9: abc ve cba üç basamaklı sayılardır ve abc − cba = 396'dır. Bu koşula uyan kaç tane abc sayısı yazılabilir?

Çözüm: 99(a − c) = 396, yani a − c = 4. cba de üç basamaklı olduğu için c en az 1'dir. (a, c) çiftleri (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5) olmak üzere beş tanedir. b için kısıt olmadığından 10 seçenek vardır: 5 · 10 = 50 sayı.

Faktöriyel nedir, sondaki sıfırlar nasıl sayılır?

n! (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan pozitif tam sayıların çarpımıdır: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Tanım gereği 0! = 1 ve 1! = 1'dir. En kullanışlı özellik n! = n · (n − 1)! eşitliğidir; faktöriyelli kesirler bununla hızla sadeleşir: 10! / 8! = 10 · 9 = 90.

Bir faktöriyelin sonunda kaç sıfır olduğunu bulmak için çarpımdaki 5 çarpanlarını sayarsınız; çünkü her sıfır bir 2 ile bir 5'in çarpımından gelir ve 2'ler her zaman daha boldur. n'yi art arda 5'e bölüp bölümleri toplayın.

Örnek 10: 30! sayısının sonunda kaç sıfır vardır?

Çözüm: 30 / 5 = 6, 6 / 5 = 1 (kalan atılır). 6 + 1 = 7 sıfır vardır. Aynı yöntemle 100! için 20 + 4 = 24 bulunur.

Faktöriyel, permütasyon ve kombinasyon sorularının da temelidir. Sayma ve olasılık uygulamaları için ALES olasılık ve sayma maddesine geçebilirsiniz.

Adım adım: temel kavram sorusu nasıl çözülür?

1. Kümeyi belirleyin: Değişken rakam mı, doğal sayı mı, tam sayı mı, pozitif mi? Soru kökünde altını çizin.
2. Kısıtları yazın: "Farklı", "sıfırdan farklı", "asal", "tek", "en soldaki basamak" gibi koşulları kenara not edin.
3. İfadeyi düzenleyin: Çarpanlara ayırın ya da basamak analizi yapın; tek-çift ve işaret sorularında sayı yerine yapıya bakın.
4. En büyük / en küçük isteniyorsa uç değerleri deneyin: Büyütmek için büyük rakamları çarpıma, küçültmek için 0'ı ve 1'i doğru yere koyun.
5. Kontrol edin: Bulduğunuz değerleri koşullara geri koyun; özellikle "farklı" ve "asal" koşulunu yeniden sınayın.

Örnek 11: a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır. a + b · c ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değer kaçtır?

Çözüm: En büyük değer için çarpıma en büyük iki rakam verilir: b · c = 9 · 8 = 72, kalan en büyük rakam a = 7; sonuç 79'dur. En küçük değer için çarpımı 0 yapmak gerekir: b = 0 alınır, a 0 olamayacağı için a = 1, c ise farklı herhangi bir rakam olur; sonuç 1'dir. a = 0 seçilseydi çarpım için 0 kullanılamaz, en küçük çarpım 1 · 2 = 2 olurdu.

Temel kavramlarda sık yapılan hatalar

• 1'i asal saymak: 1 ne asal ne bileşiktir. "İlk asal sayı" 2'dir.
• 0'ı yanlış sınıflamak: 0 çifttir, doğal sayıdır, tam sayıdır; ama pozitif değildir.
• Negatif değerleri denememek: "Tam sayı" denen sorularda −1, −2 gibi değerler çoğu zaman cevabı değiştirir.
• x² > 0 sanmak: x = 0 ise x² = 0'dır; doğru ifade x² ≥ 0'dır.
• Rakam ile sayıyı karıştırmak: "a bir rakam" ise a en çok 9'dur; "a bir sayı" ise sınır yoktur.
• En soldaki basamağa 0 yazmak: 087 üç basamaklı değil, iki basamaklı bir sayıdır.
• Terim sayısında + 1'i unutmak: Ardışık dizilerde ilk ve son terimin ikisi de sayılır.

Bu kuralları bir sayfalık kartta toplamak, deneme sınavlarında hatalarınızı hızla tanımanızı sağlar. Hazır bir tekrar listesi için ALES sayısal formül kartları, çalışma sırası için ALES'e sıfırdan 90 günlük program maddelerine bakabilirsiniz. Deneme sonuçlarınızı puana çevirmek isterseniz ALES puan hesaplama aracını kullanabilirsiniz.

Kaynaklar ve resmî bağlantılar

• ÖSYM: ALES kılavuzu, sınav takvimi ve geçmiş sınavların yayımlanan soru kitapçıkları
• Yükseköğretim Kurulu: lisansüstü başvurularda ALES koşulunu düzenleyen mevzuat