ALES Ortalama Problemleri: Aritmetik ve Ağırlıklı Ortalama Soruları, Çözümlü Örnekler

ALES matematiğinin genel konu listesini ve temel formülleri ALES matematik konuları maddesinde topladık. Bu madde ise yalnız ortalama sorularına odaklanır: bu soru türünün kalıplarını, kurulum yolunu ve sık düşülen tuzakları çözümlü örneklerle anlatır. Bütün problem türlerinde işe yarayan genel teknikler için ALES sayısal problem çözme teknikleri maddesine bakabilirsiniz.

ALES'te ortalama soruları nasıl sorulur?

Ortalama hesabı ALES sayısal testinde iki yerde karşınıza çıkar: tek başına sorulan problem sorularında ve tablo ya da grafik verisine dayanan sorularda. Soru sayısı oturumdan oturuma değişir; bu yüzden "her sınavda şu kadar çıkar" diye bir kural yoktur. Ama kalıplar oldukça tanıdıktır:

• Eleman ekleme ya da çıkarma: "Gruba bir kişi katılınca ortalama 1 arttı; yeni gelenin yaşı kaçtır?"
• Hatalı veri: "Notlardan biri yanlış girilmiş; doğru ortalama kaçtır?"
• Grupların birleşmesi: "İki sınıfın ortalamaları ve öğrenci sayıları verildi; genel ortalama kaçtır?"
• Ters soru: "Genel ortalama ve grup ortalamaları verildi; grupların sayı oranı nedir?"
• Ardışık sayılar: "Ardışık beş sayının toplamı verildi; en küçüğü kaçtır?"
• En az, en çok: "Ortalamanın en az 65 olması için son sınavdan en az kaç alınmalı?"
• Grafik ve tablo: "Dört ayın ortalama satışı kaçtır?", "Hangi aylar ortalamanın üstündedir?"

Aritmetik ortalamanın değişmeyen kuralları nelerdir?

1. Toplam = ortalama × eleman sayısı. Ortalama sorusunda ilk iş, verilen her ortalamayı toplama çevirmektir.
2. Eleman ekleme ve çıkarma: Eklenen ya da çıkarılan değer, yeni toplam ile eski toplamın farkıdır.
3. Sabit ekleme: Her sayıya k eklenirse ortalama da k artar; her sayıdan k çıkarılırsa ortalama k azalır.
4. Sabitle çarpma: Her sayı k ile çarpılırsa ortalama da k ile çarpılır. Bu yüzden her sayı a ile çarpılıp b eklenirse yeni ortalama a × (eski ortalama) + b olur.
5. Tek bir sayıyı değiştirme: n sayıdan yalnız biri d kadar artırılırsa ortalama d / n kadar artar.
6. Ortalamaya eşit eleman: Ortalaması x olan bir gruba değeri tam x olan bir eleman eklenir ya da çıkarılırsa ortalama değişmez.
7. Sapmalar dengelenir: Sayıların ortalamadan farklarının toplamı her zaman sıfırdır. Ortalamanın üstündeki fazlalık, altındaki eksikliği tam karşılar.
8. Ardışık sayılar ve eşit aralıklı diziler: Ortalama, ortadaki sayıya ve (ilk + son) / 2'ye eşittir.

Toplam yöntemi: eleman ekleme ve çıkarma soruları

Aşağıdaki bütün örnekler bu madde için yazılmış varsayımsal sorulardır.

Çözümlü örnek 1: Gruba bir kişi katılması

8 kişilik bir grubun yaş ortalaması 25'tir. Gruba bir kişi katılınca yaş ortalaması 26 oluyor. Gruba katılan kişi kaç yaşındadır?

1. Eski toplam: 8 × 25 = 200
2. Yeni toplam: 9 × 26 = 234
3. Katılan kişinin yaşı: 234 − 200 = 34

Kısa yol: Yeni gelen kişi, kendi payı olan 26'yı aldıktan sonra eski 8 kişinin her birinin ortalamasını 1 artıracak kadar fazlalık getirmelidir: 26 + 8 × 1 = 34.

Çözümlü örnek 2: Bir sayının çıkarılması

10 sayının ortalaması 18'dir. Bu sayılardan biri çıkarılınca kalan 9 sayının ortalaması 17 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?

Eski toplam 10 × 18 = 180, yeni toplam 9 × 17 = 153'tür. Çıkarılan sayı 180 − 153 = 27'dir.

Çözümlü örnek 3: Hatalı girilen veri

20 öğrencinin not ortalaması 64 olarak hesaplanmıştır. Daha sonra notlardan birinin 75 yerine 35 girildiği fark ediliyor. Doğru ortalama kaçtır?

Eksik girilen miktar 75 − 35 = 40'tır. Toplam 40 artacağı için ortalama 40 / 20 = 2 artar. Doğru ortalama 64 + 2 = 66'dır. Uzun yoldan kontrol: 20 × 64 = 1280; 1280 + 40 = 1320; 1320 / 20 = 66.

Ağırlıklı ortalama nasıl hesaplanır?

Farklı büyüklükteki gruplar birleştiğinde genel ortalama, grup ortalamalarının düz ortalaması değildir. Her grubun ortalaması kendi eleman sayısıyla çarpılır, toplanır ve toplam eleman sayısına bölünür:

Genel ortalama = (n₁ × o₁ + n₂ × o₂) / (n₁ + n₂)

Çözümlü örnek 4: İki sınıfın genel ortalaması

A sınıfındaki 20 öğrencinin ortalaması 70, B sınıfındaki 30 öğrencinin ortalaması 80'dir. İki sınıfın genel ortalaması kaçtır?

(20 × 70 + 30 × 80) / 50 = (1400 + 2400) / 50 = 3800 / 50 = 76. Düz ortalama olan 75'i işaretleyen aday yanlış yapar; genel ortalama her zaman kalabalık gruba daha yakındır.

Denge yöntemi: ters sorular için kısa yol

Genel ortalama, grup ortalamalarının arasında bir denge noktasıdır. Her grubun eleman sayısı ile genel ortalamaya uzaklığının çarpımı iki tarafta eşittir: n₁ × (o₁ − genel) = n₂ × (genel − o₂). Yani grup sayılarının oranı, uzaklıkların ters oranıdır.

Denge yöntemi (Örnek 4 için kontrol)

Grup	Ortalama	Genel ortalamaya uzaklık	Eleman sayısı	Sayı × uzaklık
A	70	6	20	120
B	80	4	30	120

Çözümlü örnek 5: Sayı oranını bulma

Bir sınıfın genel not ortalaması 72'dir. Kızların ortalaması 78, erkeklerin ortalaması 68'dir. Kız öğrenci sayısının erkek öğrenci sayısına oranı kaçtır?

Kızlar genel ortalamanın 6 üstünde, erkekler 4 altındadır. Denge için kız sayısı × 6 = erkek sayısı × 4 olmalıdır; buradan kız / erkek = 4 / 6 = 2 / 3 bulunur. Kontrol: 2 kız ve 3 erkek için (2 × 78 + 3 × 68) / 5 = (156 + 204) / 5 = 72.

Aynı mantık karışım sorularında da kullanılır: iki farklı yoğunluktaki karışımın birleşimi, ağırlıklı ortalamanın ta kendisidir. Konu için ALES karışım problemleri maddesine bakabilirsiniz.

Ardışık sayıların ortalaması nasıl bulunur?

Ardışık tam sayılar, ardışık çift ya da tek sayılar ve genel olarak eşit aralıklı her dizide ortalama, dizinin tam ortasındaki değerdir. Terim sayısı tekse bu ortadaki terim, çiftse ortadaki iki terimin ortalamasıdır. Her durumda ortalama = (ilk terim + son terim) / 2 olur.

Çözümlü örnek 6: Toplamdan en küçük sayıya

Ardışık beş tam sayının toplamı 115'tir. En küçük sayı kaçtır?

Ortalama 115 / 5 = 23'tür ve bu ortadaki (üçüncü) sayıdır. Sayılar 21, 22, 23, 24, 25 olur; en küçüğü 21'dir.

Çözümlü örnek 7: Ardışık çift sayılar

Ardışık yedi çift sayının ortalaması 30'dur. En büyük sayı kaçtır?

30 dördüncü (ortadaki) sayıdır. Ondan sonra üç çift sayı daha gelir: 30 + 3 × 2 = 36. Sayılar 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36'dır.

Sayılar değişince ortalama nasıl değişir?

Çözümlü örnek 8: Her sayıya aynı işlem

6 sayının ortalaması 12'dir. Her sayı 3 ile çarpılıp sonra 2 çıkarılırsa yeni ortalama kaç olur?

Her sayıya aynı işlem uygulandığı için aynı işlemi ortalamaya uygulamak yeterlidir: 3 × 12 − 2 = 34. Sayıları tek tek bulmanız gerekmez; zaten soru buna izin vermez.

Çözümlü örnek 9: Tek bir sayının artırılması

5 sayının ortalaması 40'tır. Sayılardan biri 15 artırılırsa yeni ortalama kaç olur?

Toplam 15 artar, eleman sayısı değişmez; ortalama 15 / 5 = 3 artar. Yeni ortalama 43'tür.

En az ve en çok soruları nasıl çözülür?

"En az", "en çok" ifadesi gördüğünüzde yine toplamdan başlayın; sonra istenen değer dışındaki elemanları sorunun izin verdiği en uç değerlere çekin. Bu tür sorularda eşitsizlik kurma alışkanlığı işinizi kolaylaştırır; ayrıntı için ALES denklem ve eşitsizlik çözüm teknikleri maddesine bakabilirsiniz.

Çözümlü örnek 10: Son sınavdan en az kaç?

Bir öğrencinin ilk dört sınavının ortalaması 62'dir. Beş sınavın ortalamasının en az 65 olması için beşinci sınavdan en az kaç alması gerekir?

Beş sınavın toplamı en az 5 × 65 = 325 olmalıdır. İlk dört sınavın toplamı 4 × 62 = 248'dir. Beşinci sınav en az 325 − 248 = 77 olmalıdır.

Çözümlü örnek 11: En büyük sayı en çok kaç?

Birbirinden farklı dört pozitif tam sayının ortalaması 10'dur. Bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir?

Toplam 4 × 10 = 40'tır. En büyük sayıyı büyütmek için öteki üç sayıyı olabildiğince küçük seçin: birbirinden farklı en küçük pozitif tam sayılar 1, 2 ve 3'tür; toplamları 6'dır. En büyük sayı en çok 40 − 6 = 34 olur.

Grafik ve tablo sorularında ortalama tuzakları

Tablo ya da grafik verisinde ortalama istenirken iki tuzak öne çıkar: birimi atlamak ve yüzdelerin düz ortalamasını almak.

Çözümlü örnek 12: Ortalamanın üstündeki aylar

Bir mağazanın dört aylık satışları (bin adet, varsayımsal) şöyledir: ocak 30, şubat 45, mart 25, nisan 60. Kaç ayda satış dört aylık ortalamanın üstündedir?

Ortalama (30 + 45 + 25 + 60) / 4 = 160 / 4 = 40 bin adettir. Şubat (45) ve nisan (60) ortalamanın üstündedir; cevap 2'dir. Cevabı yazarken birimi unutmayın: ortalama 40 değil, 40 bin adettir.

Çözümlü örnek 13: Yüzdelerin ortalaması alınmaz

Bir kurumun A şubesindeki 200 kursiyerin %40'ı, B şubesindeki 300 kursiyerin %60'ı sınavı geçmiştir (varsayımsal). Kurumun genel başarı yüzdesi kaçtır?

Yüzdeyi kişi sayısına çevirerek çözüm

Şube	Kursiyer	Başarı oranı	Geçen kişi
A	200	%40	80
B	300	%60	180
Toplam	500	?	260

Genel başarı 260 / 500 = %52'dir; %40 ile %60'ın düz ortalaması olan %50 yanlıştır. Yüzdeler farklı büyüklükteki gruplara aitse önce kişi sayısına çevirin. Bu tür soruların öteki kalıpları için ALES grafik ve tablo yorumlama maddesine bakabilirsiniz.

Ortalama sorularında sık yapılan hatalar

• Ortalamaların ortalamasını almak: Grup büyüklükleri farklıysa genel ortalama ağırlıklı ortalamadır.
• Eleman sayısını güncellememek: Bir kişi katıldığında ya da ayrıldığında yeni toplamı yeni eleman sayısıyla hesaplayın.
• Ortalama hızı hızların ortalaması sanmak: Aynı yol farklı hızlarla gidilip dönülüyorsa ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölümüdür; ayrıntı için ALES hareket problemleri maddesine bakın.
• Yüzdelerin düz ortalamasını almak: Farklı tabanlara ait yüzdeler önce sayıya çevrilir.
• Soru kökündeki kayıtları atlamak: "Farklı", "pozitif", "tam sayı" gibi kayıtlar en az-en çok sorularında sonucu değiştirir.
• İstenen değeri karıştırmak: Soru yeni ortalamayı mı, eklenen değeri mi, toplamı mı soruyor? Son adımda soru kökünü yeniden okuyun.

Son tekrarda ortalama formüllerini öteki konularla birlikte görmek için ALES sayısal formül kartları maddesinden yararlanabilirsiniz.

Kaynaklar ve resmî bağlantılar

• ÖSYM — ALES kılavuzu, sınav takvimi ve ÖSYM'nin yayımladığı soru kitapçıkları için resmî adres
• Mevzuat Bilgi Sistemi — ALES puanının lisansüstü başvurularda nasıl kullanıldığını düzenleyen Lisansüstü Eğitim ve Öğretim Yönetmeliği