İçindekiler 11 başlık · 8 dk
- F değeri nedir, neyi ölçer?
- ANOVA tablosu nasıl okunur? Sütunların anlamı
- F değeri nasıl hesaplanır? Adım adım elle örnek
- F değeri kaç olmalı? Kritik F değeri ve p değeri
- Büyük F, büyük etki demek mi?
- F değerinin 1'den küçük çıkması ne demek?
- Varyanslar eşit değilse: Welch F ve Brown-Forsythe
- F değeri APA'ya göre nasıl raporlanır?
- F testi ANOVA dışında nerede karşınıza çıkar?
- F değerini yorumlarken sık yapılan hatalar
- Kaynaklar ve resmî bağlantılar
Kısaca: F değeri, ANOVA'da gruplar arası ortalama karenin grup içi ortalama kareye bölünmesiyle bulunan orandır: F = MS(gruplar arası) / MS(grup içi). Grup ortalamaları gerçekte eşitse F'nin 1 civarında çıkması beklenir; F büyüdükçe gruplar arasındaki farkın rastlantıyla açıklanması zorlaşır. Farkın anlamlı olup olmadığına F'nin kendisine değil, serbestlik derecelerine göre hesaplanan p değerine (Sig.) bakılarak karar verilir.
SPSS'te tek yönlü ANOVA'nın hangi menülerle yapıldığını ve çıktının adım adım nasıl raporlandığını SPSS'te ANOVA uygulaması maddesinde anlattık. Bu madde ise uygulamaya değil kavrama odaklanır: ANOVA tablosundaki F sayısı neyi ölçer, nereden gelir, "F = 8,33" gördüğünüzde bundan ne çıkarabilir ve neyi çıkaramazsınız?
F değeri nedir, neyi ölçer?
Varyans analizi (ANOVA), adına rağmen ortalamaları karşılaştırır; ama bunu varyansları karşılaştırarak yapar. Bağımlı değişkendeki toplam değişkenlik iki parçaya ayrılır: grupların ortalamalarının birbirinden farklı olmasından gelen gruplar arası değişkenlik ve aynı gruptaki kişilerin birbirinden farklı olmasından gelen grup içi değişkenlik.
F oranı bu iki parçayı karşılaştırır. Grup içi değişkenlik, gruplara ayırmanın açıklayamadığı "gürültü" olarak düşünülebilir. Gruplar arası değişkenlik ise gürültüye ek olarak, varsa gerçek grup farkını da içerir. Ortalamalar gerçekten eşitse iki ortalama kare de aynı hata varyansını tahmin eder ve F yaklaşık 1 çıkar. Ortalamalar farklıysa gruplar arası ortalama kare büyür ve F 1'in belirgin biçimde üstüne çıkar.
Adındaki F, bu yaklaşımı geliştiren istatistikçi Ronald A. Fisher'ın onuruna verilmiştir. F değerinin dağılımı da "F dağılımı" diye anılır ve biçimi iki serbestlik derecesine bağlıdır.
ANOVA tablosu nasıl okunur? Sütunların anlamı
SPSS'in One-Way ANOVA çıktısındaki "ANOVA" tablosu üç satır (Between Groups, Within Groups, Total) ve beş sütundan oluşur. Aşağıdaki değerler varsayımsaldır: üç gruplu, toplam 150 kişilik bir çalışma düşünün.
| Kaynak | Sum of Squares (KT) | df | Mean Square (KO) | F | Sig. |
|---|---|---|---|---|---|
| Between Groups (gruplar arası) | 600,00 | 2 | 300,00 | 8,33 | < ,001 |
| Within Groups (grup içi) | 5292,00 | 147 | 36,00 | ||
| Total (toplam) | 5892,00 | 149 |
- Sum of Squares (kareler toplamı, KT): Değişkenliğin ham miktarı. Gruplar arası ve grup içi kareler toplamının toplamı, toplam kareler toplamına eşittir (600 + 5292 = 5892).
- df (serbestlik derecesi): Gruplar arası için k − 1 (grup sayısı eksi bir), grup içi için N − k (toplam kişi sayısı eksi grup sayısı), toplam için N − 1.
- Mean Square (kareler ortalaması, KO): Kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesi: 600 / 2 = 300 ve 5292 / 147 = 36.
- F: İki kareler ortalamasının oranı: 300 / 36 ≈ 8,33.
- Sig.: Grup ortalamaları gerçekte eşit olsaydı bu büyüklükte ya da daha büyük bir F elde etme olasılığı, yani p değeri.
Tablodaki toplam satırının KO ve F hücresi boştur; bu normaldir. F yalnız gruplar arası satırda yer alır, çünkü test edilen etki odur.
F değeri nasıl hesaplanır? Adım adım elle örnek
Mantığı görmek için çok küçük, varsayımsal bir veri kullanalım: üç grupta dörder kişi var.
- A grubu: 3, 5, 7, 5 (ortalama 5)
- B grubu: 5, 7, 9, 7 (ortalama 7)
- C grubu: 7, 9, 11, 9 (ortalama 9)
Genel ortalama 7'dir (N = 12, k = 3).
- Gruplar arası kareler toplamı: Her grubun ortalamasının genel ortalamadan farkının karesi, o gruptaki kişi sayısıyla çarpılıp toplanır: 4 × (5 − 7)² + 4 × (7 − 7)² + 4 × (9 − 7)² = 16 + 0 + 16 = 32.
- Grup içi kareler toplamı: Her puanın kendi grup ortalamasından farkının karesi toplanır. A grubunda (−2)² + 0² + 2² + 0² = 8; B ve C gruplarında da 8. Toplam 24.
- Serbestlik dereceleri: Gruplar arası 3 − 1 = 2; grup içi 12 − 3 = 9.
- Kareler ortalamaları: 32 / 2 = 16 ve 24 / 9 ≈ 2,67.
- F oranı: 16 / 2,67 = 6,00.
- Karar: F(2, 9) = 6,00 için p ≈ ,022 bulunur. p < ,05 olduğu için grup ortalamalarının hepsinin eşit olduğu sıfır hipotezi reddedilir.
Bu örnekte gruplar arasındaki fark, grup içindeki dağılmaya göre büyük olduğu için F 1'in çok üstündedir. Grup içi puanlar daha dağınık olsaydı (örneğin A grubunda 1, 5, 9, 5), aynı ortalama farklarıyla F küçülürdü.
F değeri kaç olmalı? Kritik F değeri ve p değeri
"F şu değerin üstündeyse anlamlıdır" diye genel bir sınır yoktur. Anlamlılık için gereken F, iki serbestlik derecesine ve seçtiğiniz anlamlılık düzeyine bağlıdır. Eski yöntemde hesaplanan F, F dağılımı tablosundaki kritik değerle karşılaştırılırdı; bugün yazılımlar doğrudan p değerini verir. Tablodan kritik değer okumanın mantığı t tablosundakiyle aynıdır; adımlar için t tablosu ve kritik değer nasıl okunur maddesine bakabilirsiniz.
| df (gruplar arası, grup içi) | Kritik F (α = ,05) | Anlamı |
|---|---|---|
| (2, 9) | ≈ 4,26 | Küçük örneklemde anlamlılık için daha büyük F gerekir |
| (3, 96) | ≈ 2,70 | Dört grup, yaklaşık 100 kişi |
| (2, 147) | ≈ 3,06 | Yukarıdaki 150 kişilik örnek |
Elle hesapladığımız F(2, 9) = 6,00 kritik değer olan 4,26'nın üstünde olduğu için anlamlıdır; p değerinin ,05'ten küçük çıkması da aynı sonucu söyler. Grup içi serbestlik derecesi büyüdükçe kritik F küçülür; yani büyük örneklemlerde daha küçük F değerleri de anlamlı çıkabilir.
Anlamlı bir F yalnız "grup ortalamalarının en az biri ötekilerden farklı" demektir. Hangi grupların birbirinden farklı olduğunu söylemez. Bunun için ANOVA post-hoc testleri ya da önceden planlanmış karşılaştırmalar gerekir.
Büyük F, büyük etki demek mi?
Hayır. F değeri hem etkinin büyüklüğüne hem örneklem büyüklüğüne bağlıdır. Tek yönlü ANOVA'da F ile eta-kare (η²) arasında şu ilişki vardır:
F = [η² / (1 − η²)] × (df grup içi / df gruplar arası)
Yani aynı etki büyüklüğü, örneklem büyüdükçe daha büyük bir F üretir. Varsayımsal olarak η² = ,02 (grup farkının toplam değişkenliğin %2'sini açıkladığı küçük bir etki) olan üç gruplu iki çalışmayı karşılaştıralım:
| Toplam N | df | F | p |
|---|---|---|---|
| 60 | (2, 57) | ≈ 0,58 | ≈ ,56 (anlamlı değil) |
| 600 | (2, 597) | ≈ 6,09 | ≈ ,002 (anlamlı) |
İki çalışmada grup farkının pratik önemi aynıdır; değişen yalnız örneklem büyüklüğüdür. Bu yüzden F ve p'nin yanında mutlaka etki büyüklüğü raporlanır. Yukarıdaki 150 kişilik örnekte η² = 600 / 5892 ≈ ,10'dur. Eta-kare, kısmi eta-kare ve omega-karenin hesaplanışı ve yorumu için etki büyüklüğü rehberine bakabilirsiniz.
F değerinin 1'den küçük çıkması ne demek?
F 1'den küçük çıkabilir; bu bir hata değildir. Grup içi kareler ortalamasının gruplar arası kareler ortalamasından büyük olduğunu, yani grupların ortalamaları arasındaki farkın grup içindeki olağan dağılmadan bile küçük kaldığını gösterir. Bu durumda p büyük çıkar ve grup farkına dair kanıt bulunmaz.
F negatif olamaz, çünkü iki kareler ortalaması da kare alınarak hesaplanır. Çıktınızda negatif bir değer görüyorsanız, bakılan sayı F değil başka bir istatistiktir ya da tabloda yanlış hücreye bakıyorsunuzdur.
Anlamsız bir F, "gruplar eşittir" anlamına da gelmez. Yalnız eldeki veride farkı gösterecek yeterli kanıt olmadığını söyler. Örneklem küçükse gerçek ama küçük bir fark gözden kaçmış olabilir. Hipotezlerin nasıl kurulup yorumlandığını hipotez yazma maddesinde ayrıca anlattık.
Varyanslar eşit değilse: Welch F ve Brown-Forsythe
Klasik F testi, grupların varyanslarının eşit olduğunu varsayar. Gruplar arasında varyans farkı büyükse, özellikle grup büyüklükleri de farklıysa, klasik F yanıltıcı p değerleri verebilir. Bu durumda One-Way ANOVA penceresindeki Options bölümünden Welch ya da Brown-Forsythe testleri seçilir; SPSS bunları "Robust Tests of Equality of Means" tablosunda verir.
Bu tabloda grup içi serbestlik derecesinin ondalıklı çıktığını görürsünüz (örneğin 2 ve 61,37 gibi). Bu bir hata değil, düzeltilmiş testlerin özelliğidir ve raporda olduğu gibi yazılır. Varyans homojenliğinin nasıl sınandığını ve ihlal edildiğinde hangi yolun seçileceğini Levene testi maddesinde bulabilirsiniz.
F değeri APA'ya göre nasıl raporlanır?
APA biçiminde F değeri, parantez içinde iki serbestlik derecesiyle birlikte, ardından p değeri ve etki büyüklüğü ile verilir. F, p ve η harfleri istatistik simgesi olarak italik yazılır.
Öğretim yöntemine göre sınav puanları arasında anlamlı fark bulunmuştur, F(2, 147) = 8.33, p < .001, η² = .10.
- Önce gruplar arası, sonra grup içi serbestlik derecesi yazılır.
- F değeri genellikle iki ondalık basamakla verilir.
- p değeri tam değeriyle (p = .022 gibi) yazılır; ,001'den küçükse p < .001 denir.
- Welch testi kullandıysanız bunu belirtin ve ondalıklı serbestlik derecesini yazın.
Türkçe tezlerde ondalık ayırıcı olarak nokta mı virgül mü kullanılacağı enstitüden enstitüye değişebilir; yazım kılavuzunuza bakın. Bulguları tabloya dökmek için SPSS çıktısını APA tablosuna dönüştürme maddesinden yararlanabilirsiniz.
F testi ANOVA dışında nerede karşınıza çıkar?
- Faktöriyel ANOVA: Her ana etki ve etkileşim için ayrı bir F değeri hesaplanır. Her F, o etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesidir. Ayrıntı için iki yönlü ANOVA maddesine bakın.
- Regresyon analizi: Regresyon çıktısındaki ANOVA tablosu, modelin bir bütün olarak bağımlı değişkeni anlamlı biçimde açıklayıp açıklamadığını F testiyle sınar. Burada gruplar arası satırın yerini "Regression", grup içi satırın yerini "Residual" alır. Konu için çoklu regresyon rehberine bakabilirsiniz.
- Levene testi: Varyans homojenliği testi de bir F istatistiği üretir; ama buradaki F ortalamaları değil, varyansları karşılaştırır. İki F'yi karıştırmayın.
F değerini yorumlarken sık yapılan hatalar
- F'nin büyüklüğünü etkinin büyüklüğü sanmak: Büyük örneklemde küçük bir fark da büyük F üretir. Etki büyüklüğünü ayrıca raporlayın.
- Anlamlı F'den hangi grupların farklı olduğunu çıkarmak: Genel F bunu söylemez; post-hoc test gerekir.
- Serbestlik derecelerini yazmamak: F(2, 147) yerine yalnız F = 8.33 yazmak, okurun sonucu değerlendirmesini zorlaştırır.
- Levene testinin F'sini ANOVA'nın F'si sanmak: İki tablo da F içerir; ortalamalara ilişkin karar ANOVA tablosundan verilir.
- Varyanslar belirgin biçimde farklıyken klasik F'yi raporlamak: Bu durumda Welch ya da Brown-Forsythe testini kullanın.
- Anlamsız F'yi "gruplar aynı" diye yorumlamak: Anlamsızlık, fark olmadığının kanıtı değil, fark için yeterli kanıt bulunmadığının göstergesidir.
Kaynaklar ve resmî bağlantılar
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, The ANOVA table and tests of hypotheses about means — ANOVA tablosu, serbestlik dereceleri ve F oranının tanımı
- APA Style — istatistiklerin raporlanma biçimi
- DergiPark — Türkçe makalelerde ANOVA raporlama örnekleri
Sık sorulanlar
ANOVA'da F değeri kaç olursa anlamlıdır?
Tek bir sınır yoktur. Anlamlılık için gereken F, gruplar arası ve grup içi serbestlik derecelerine ve seçilen anlamlılık düzeyine bağlıdır. Örneğin yüzde 5 düzeyinde, serbestlik dereceleri 2 ve 9 olduğunda kritik F yaklaşık 4,26, 2 ve 147 olduğunda yaklaşık 3,06'dır. Pratikte F'nin kendisine değil, SPSS'in verdiği Sig. yani p değerine bakılır; p ,05'ten küçükse fark anlamlı kabul edilir.
F değeri yüksek olursa ne anlama gelir?
Yüksek F, grup ortalamaları arasındaki farkın grup içindeki olağan dağılmaya göre büyük olduğunu gösterir ve genellikle küçük bir p değeriyle birlikte gelir. Ancak F örneklem büyüklüğünden de etkilenir; büyük örneklemlerde küçük farklar da yüksek F üretebilir. Bu yüzden F'nin yanında eta-kare gibi bir etki büyüklüğü raporlanmalıdır.
F değeri 1'den küçük çıkarsa ne olur?
F'nin 1'den küçük çıkması hata değildir. Grup içi kareler ortalamasının gruplar arası kareler ortalamasından büyük olduğunu, yani grup ortalamaları arasındaki farkın rastlantısal dağılmadan bile küçük kaldığını gösterir. Bu durumda p değeri büyük çıkar ve gruplar arasında anlamlı fark bulunmaz. Ancak bu, grupların kesinlikle eşit olduğu anlamına gelmez.
F değeri ile p değeri arasındaki fark nedir?
F değeri, gruplar arası değişkenliğin grup içi değişkenliğe oranıdır; p değeri ise grup ortalamaları gerçekte eşit olsaydı bu büyüklükte ya da daha büyük bir F görme olasılığıdır. p, F değerinden ve iki serbestlik derecesinden F dağılımı kullanılarak hesaplanır. Karar p'ye göre verilir, ama raporda F, serbestlik dereceleri ve p birlikte yazılır.
ANOVA'da serbestlik derecesi nasıl bulunur?
Tek yönlü ANOVA'da gruplar arası serbestlik derecesi grup sayısının bir eksiğidir (k − 1), grup içi serbestlik derecesi toplam kişi sayısından grup sayısının çıkarılmasıyla bulunur (N − k). Toplam serbestlik derecesi N − 1'dir. Örneğin 3 grup ve 150 kişide değerler 2 ve 147 olur ve sonuç F(2, 147) biçiminde raporlanır.
