ALES Üslü ve Köklü Sayılar — Kurallar ve Soru Tipleri

Bu madde yalnız üslü ve köklü ifadeleri ele alır: kuralları, ALES'te karşınıza çıkabilecek soru tiplerini ve çözümlü örnekleri. ALES matematiğindeki bütün konuların genel özeti için ALES matematik temel konular ve formüller, son tekrar için ALES sayısal formül kartları maddelerine bakın. Örneklerin hepsi bu madde için yazılmıştır; ÖSYM sorusu değildir.

Üslü sayı nedir? Taban, üs ve kuvvet

aⁿ ifadesi, a sayısının n kez kendisiyle çarpımıdır: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Burada a'ya taban, n'ye üs (kuvvet), sonuca da a'nın n'inci kuvveti denir. Sorularda işinizi hızlandıracak birkaç temel değeri bilmek gerekir:

• a¹ = a; 1ⁿ = 1; n pozitifken 0ⁿ = 0.
• a ≠ 0 için a⁰ = 1. 0⁰ ifadesi tanımsız kabul edilir.
• Sık kullanılan kuvvetler: 2¹⁰ = 1024, 3⁵ = 243, 5⁴ = 625, 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 15² = 225.

İşaret kuralları ve negatif üs

Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir: (−3)² = 9, (−3)³ = −27. Parantezin yeri sonucu değiştirir: −2⁴ ifadesinde üs yalnız 2'ye aittir ve sonuç −16'dır; (−2)⁴ ise 16'dır.

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini alır: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0). Örneğin 2⁻³ = 1/8 ve (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. Negatif üs sayıyı negatif yapmaz; 2⁻³ pozitif bir sayıdır.

Üslü sayılarda işlem kuralları nelerdir?

Üslü sayılarda temel kurallar (a, b ≠ 0)

Kural	Formül	Örnek
Aynı tabanlı çarpma	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	3⁴ · 3² = 3⁶
Aynı tabanlı bölme	aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	5⁷ / 5³ = 5⁴
Üssün üssü	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)⁴ = 2¹²
Aynı üslü çarpma	aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ	2⁵ · 5⁵ = 10⁵
Aynı üslü bölme	aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ	6³ / 2³ = 3³ = 27
Sıfır üs	a⁰ = 1	(−7)⁰ = 1
Negatif üs	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ	10⁻² = 0,01

Toplama ve çıkarmada kural yoktur, ortak çarpan vardır. 2³ + 2⁴ işlemi 2⁷ etmez. Ortak çarpan parantezine alırsınız: 2³ + 2⁴ = 2³(1 + 2) = 24. Aynı terimler toplanıyorsa katsayı tabana dönüşebilir: 3ⁿ + 3ⁿ + 3ⁿ = 3 · 3ⁿ = 3ⁿ⁺¹ ve 2ⁿ + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹.

Üssün üssünde parantez önemlidir. (2³)² = 2⁶ = 64'tür; ama 2 üzeri 3², yani 2⁹ = 512'dir. Parantez yoksa üsler yukarıdan aşağıya doğru hesaplanır.

Üslü denklem ve büyüklük sıralaması soruları nasıl çözülür?

Tabanları eşitleme

Üslü denklemde amaç iki tarafı aynı tabana getirmektir; tabanlar eşitse (ve taban 1, 0 ya da −1 değilse) üsler de eşittir.

1. Örnek: 4ˣ = 32 ise x kaçtır? 4 = 2² ve 32 = 2⁵ olduğundan 2²ˣ = 2⁵, yani 2x = 5 ve x = 5/2.
2. Örnek: 9ˣ⁺¹ = 27 ise x kaçtır? 3²ˣ⁺² = 3³ olduğundan 2x + 2 = 3 ve x = 1/2.
3. Örnek: 2ˣ + 2ˣ⁺¹ = 48 ise x kaçtır? 2ˣ(1 + 2) = 48, yani 2ˣ = 16 ve x = 4.

Büyüklük sıralaması

Tabanlar farklı ama üsler ortak bir sayıya indirgenebiliyorsa üsleri eşitleyin. Örneğin a = 2⁶⁰, b = 3⁴⁰, c = 5²⁰ sıralamasında üslerin ortak böleni 20'dir: a = (2³)²⁰ = 8²⁰, b = (3²)²⁰ = 9²⁰, c = 5²⁰. Üsler eşit olduğu için tabanlara bakılır: c < a < b.

0 ile 1 arasındaki tabanlarda sıralama tersine döner: Üs büyüdükçe sayı küçülür. (1/2)³ = 1/8, (1/2)² = 1/4'ten küçüktür.

Son rakam ve bilimsel gösterim

Büyük kuvvetlerin birler basamağı tekrar eden bir döngüye girer. 7'nin kuvvetlerinin son rakamları 7, 9, 3, 1 diye dört adımda tekrar eder. 7¹⁰⁰ için 100, 4'e tam bölündüğünden son rakam döngünün dördüncü elemanı, yani 1'dir. Şık elemede bu tekniğin başka kullanımları için ALES sayısal problem çözme teknikleri maddesine bakın.

Çok büyük ya da çok küçük sayılar 10'un kuvvetiyle yazılır: a × 10ⁿ (1 ≤ |a| < 10). Örneğin 0,00036 = 3,6 × 10⁻⁴ ve 52.000 = 5,2 × 10⁴. Ondalıklı işlemlerde ifadeyi 10'un kuvvetleriyle tam sayıya çevirmek hesabı hızlandırır; bu teknik ALES kesirler ve rasyonel sayılar maddesinde de işleniyor.

Köklü sayı nedir?

ⁿ√a, n'inci kuvveti a olan sayıdır. n = 2 ise karekök (√a), n = 3 ise küpkök (∛a) denir. Kök, kesirli üssün başka bir yazılışıdır:

ⁿ√a = a^(1/n) ve ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)

• Çift dereceli kök: Reel sayılarda kök içi negatif olamaz; √(−4) reel sayı değildir. √a her zaman negatif olmayan değeri verir: √25 = 5'tir, ±5 değil.
• Tek dereceli kök: Kök içi negatif olabilir ve sonuç da negatiftir: ∛(−8) = −2.
• √(a²) = |a|: a negatifse sonuç a değil, −a'dır. Örneğin √((−3)²) = 3.
• Sık kullanılan değerler: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24.

Köklü sayılarda işlem kuralları nelerdir?

Köklü ifadelerde temel kurallar (a, b ≥ 0)

İşlem	Kural	Örnek
Kök dışına çıkarma	√(k² · a) = k√a	√72 = √(36 · 2) = 6√2
Kök içine alma	k√a = √(k² · a) (k ≥ 0)	3√2 = √18
Çarpma	√a · √b = √(a · b)	√3 · √12 = √36 = 6
Bölme	√a / √b = √(a / b) (b ≠ 0)	√50 / √2 = √25 = 5
Toplama-çıkarma	Yalnız kök içi ve derecesi aynı olanlar	2√3 + 5√3 = 7√3
Farklı dereceli kökler	Kesirli üse çevir, üsleri topla	√2 · ∛2 = 2^(1/2 + 1/3) = 2^(5/6) = ⁶√32

Toplamada önce sadeleştirin: √12 + √27 ilk bakışta toplanamaz görünür, ama √12 = 2√3 ve √27 = 3√3 olduğundan sonuç 5√3'tür. Buna karşılık √2 + √3, √5 etmez ve daha fazla sadeleşmez. Kök içindeki tam kare çarpanı bulmanın en güvenli yolu sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır; yöntem ALES bölünebilme, EBOB ve EKOK maddesinde.

Paydayı rasyonel yapma: eşlenikle çarpma

Paydada kök bırakmamak için kesir, paydayı tam sayı yapacak bir ifadeyle hem pay hem payda çarpılır.

1. Tek terimli payda: 6/√3 = 6√3 / 3 = 2√3.
2. İki terimli payda: Eşleniği (ortadaki işaret ters çevrilmiş hâli) kullanılır, çünkü (√a − √b)(√a + √b) = a − b. Örnek: 1/(√5 − √3) = (√5 + √3) / (5 − 3) = (√5 + √3) / 2.
3. Tam sayı ve kök: 4/(3 + √5) = 4(3 − √5) / (9 − 5) = 3 − √5.

İç içe kök ve kök sıralaması soruları

İç içe kökleri kesirli üsle çözme

√(x · √(x · √x)) ifadesini sadeleştirmek için içten dışa doğru üslere çevirin: √x = x^(1/2); x · x^(1/2) = x^(3/2), bunun karekökü x^(3/4); x · x^(3/4) = x^(7/4), bunun karekökü x^(7/8). Sonuç x^(7/8), yani ⁸√(x⁷)'dir.

√(a + 2√b) biçimindeki kökler

√(m + 2√n) ifadesinde toplamı m, çarpımı n olan iki sayı arayın. Örneğin √(7 + 2√12): toplamı 7, çarpımı 12 olan sayılar 4 ve 3'tür; sonuç √4 + √3 = 2 + √3. Kontrol: (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3 ve 2√12 = 4√3. İçerideki işaret eksi ise sonuç büyük kökten küçüğün çıkarılmasıdır: √(7 − 2√12) = 2 − √3.

Farklı dereceli kökleri sıralama

√2, ∛3 ve ⁶√10 sayılarını sıralamak için hepsini ortak dereceye (6) getirin: √2 = ⁶√8, ∛3 = ⁶√9. Dereceler eşitlenince kök içlerine bakılır: √2 < ∛3 < ⁶√10.

Sonsuz iç içe kök

√(6 + √(6 + √(6 + …))) = x dersek, kökün içindeki ifade yine x'tir: x = √(6 + x). İki tarafın karesini alınca x² − x − 6 = 0, yani (x − 3)(x + 2) = 0 olur. Kök negatif olamayacağından x = 3.

Üslü ve köklü sayılarda sık yapılan hatalar

• (a + b)² = a² + b² sanmak: Doğrusu a² + 2ab + b²'dir. (2 + √3)² ifadesindeki 4√3 terimi bu yüzden unutulur.
• Üsleri toplamada toplamak: 2³ + 2⁴ ≠ 2⁷. Önce ortak çarpan parantezi.
• −aⁿ ile (−a)ⁿ'yi karıştırmak: −3² = −9, (−3)² = 9.
• Kökleri dağıtmak: √(9 + 16) = 5'tir; √9 + √16 = 7 değildir.
• √(a²) = a yazmak: a negatifse sonuç |a|'dır.
• Negatif üssü negatif sayı sanmak: 5⁻² = 1/25, pozitif bir sayıdır.
• Paydayı rasyonel yapmadan şıklarda aramak: Sonuç çoğu zaman eşlenikle çarpılmış biçimde verilir.

Üslü ve köklü sayılara nasıl çalışılır?

ALES 50'si sayısal, 50'si sözel olmak üzere 100 sorudan oluşur ve süre 150 dakikadır. Bu sürede işlem yükü yüksek ifadelerle uğraşmamak için kuralları otomatikleştirmek gerekir. Şu sırayı izleyebilirsiniz:

1. Kural tablolarını kendi elinizle bir kâğıda yazın ve her kurala kendi örneğinizi ekleyin.
2. 2, 3 ve 5'in ilk kuvvetlerini ve 15'e kadar tam kareleri ezberleyin.
3. Her gün kısa bir set halinde işaret ve parantez tuzağı içeren işlemler çözün.
4. Denemelerde bu konuda yaptığınız hataları türüne göre (işaret, sadeleştirme, eşlenik) not edin.

Hedef puanınıza kaç net gerektiğini görmek için sitemizin ALES puan hesaplama aracını kullanabilirsiniz.

Kaynaklar ve resmî bağlantılar

• ÖSYM (ALES kılavuzu ve duyurular)
• OpenStax, College Algebra 2e: 1.2 Üsler ve bilimsel gösterim
• OpenStax, College Algebra 2e: 1.3 Kökler ve kesirli üsler